eng
Выпуск #3/2023
А. П. Кузнецов
Тепловая жесткость металлорежущих станков. Физические основы. Оценка и управление. Часть 2. Термическая жесткость – инженерные основы оценки и управления
Тепловая жесткость металлорежущих станков. Физические основы. Оценка и управление. Часть 2. Термическая жесткость – инженерные основы оценки и управления
Просмотры: 500
DOI: 10.22184/2499-9407.2023.32.3.26.32
С точки зрения требований точности и прецизионности станков рассмотрены основные положения оценок жесткости и их описание в физических процессах упругого деформирования в качестве важного элемента, учитываемого при проектировании металлорежущих станков. Кроме того, рассмотрены вопросы воздействия на станок тепловых факторов, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка.
С точки зрения требований точности и прецизионности станков рассмотрены основные положения оценок жесткости и их описание в физических процессах упругого деформирования в качестве важного элемента, учитываемого при проектировании металлорежущих станков. Кроме того, рассмотрены вопросы воздействия на станок тепловых факторов, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка.
Теги: accuracy elastic machine tool precision rigidity structural approach thermal and thermoelastic structure of metal-cutting machine to жесткость прецизионность станок структурный подход тепловая и термоупругая структуры металлорежущего станка точность упругая
Тепловая жесткость металлорежущих станков. Физические основы.
Оценка и управление
Часть 2. Термическая жесткость – инженерные основы оценки и управления
А. П. Кузнецов
С точки зрения требований точности и прецизионности станков рассмотрены основные положения оценок жесткости и их описание в физических процессах упругого деформирования в качестве важного элемента, учитываемого при проектировании металлорежущих станков. Кроме того, рассмотрены вопросы воздействия на станок тепловых факторов, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка.
«Существует лишь то, что можно измерить».
Макс Планк
Теплофизическую структуру металлорежущего станка [19, 20] будем рассматривать как взаимосвязанную совокупность однородных теплоактивных элементов, которые формируют и определяют пространственно-временное относительное положение инструмента и заготовки (или мест их крепления и установки). Теплоактивным элементом будем называть такую деталь (или узел) станка, которая либо сама изменяет термоупругие свойства, либо через нее передается термоупругое воздействие, что приводит к изменению начального состояния пространственно-временного относительного положения инструмента и заготовки.
Теплоактивные элементы образуют теплофизическую структуру с помощью квазитермостабильных связей, которые сохраняют свои свойства при изменении теплового состояния элементов в заданных пределах. Следовательно, совокупность теплоактивных элементов и их связей образует пространственную теплофизическую структуру станка. С течением времени, вследствие теплового воздействия, теплоактивные элементы изменяют свои термоупругие свойства. Эти изменения во времени характеризуются функцией теплового поведения теплоактивных элементов. Совокупность элементов, их связей и функций их теплового поведения образует пространственно-временную теплофизическую структуру металлорежущего станка. Таким образом, новое положение о тепловой системе станка привело к образованию новой системы понятий и, как следствие, к образованию новых терминов, выражающих данную систему понятий.
В металлорежущем станке теплоактивными элементами являются такие узлы и детали как шпиндель, шарико-винтовая передача и ходовой винт, колонна, станина, стол, шпиндельная бабка, ползун, траверса и т. п. Эти элементы имеют, как правило, относительно большие линейные размеры, площадь теплоотдающей поверхности, массу, а также входят в размерную цепь, определяющую относительное положение инструмента и заготовки. Элементы станка, которые имеют незначительные линейные размеры, невысокую температуру нагрева, незначительную площадь теплоотдающей поверхности, а также массу и, следовательно, теплоемкость, не могут существенно влиять на изменение теплофизического состояния станка.
Квазитермостабильные связи определяются естественными и конструктивно заданными связями между элементами (направляющие, подшипники, гайка и др.), а также местами их тепловой симметрии или центра тяжести масс. Например, к естественным связям относятся места крепления шпинделя, ходового винта, места передачи движения, места, ограничивающие (или исключающие) перемещение элементов и т. п. Строго говоря, положение опоры шпинделя при его нагреве не остается постоянным, однако, опора обеспечивает при нагреве стабильное взаимное относительное положение шпинделя и шпиндельной бабки. Или, например, связь стола, шпиндельной бабки с ходовым винтом осуществляется через передачу винт-гайка, что также обеспечивает относительно стабильное их взаимное положение при нагреве. Именно поэтому эти связи названы квазитермостабильными, так как при тепловых воздействиях только они остаются наиболее стабильными и сохраняют свое начальное относительное положение по сравнению с любыми другими частями детали, узла или элемента металлорежущего станка. Анализ связей и соединений теплоактивных элементов металлорежущих станков позволил классифицировать их по виду и количеству условий связи (ограничений), накладываемых сопрягаемыми элементами на их смещения друг относительно друга. Уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек сопрягаемых поверхностей, будем называть уравнениями квазитермостабильных связей.
Для построения термоупругой структуры станка необходимо более детально определить и структурировать виды типовых квазитермостабильных связей, теплоактивных элементов и функций теплового поведения. Так, в качестве теплоактивного элемента целесообразно выбрать стержень произвольного сечения, перемещение торцов которого ограничивают наложенные на них связи. В общем случае торец может перемещаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях и упруго поворачиваться вокруг них, если отсутствует связь, ограничивающая эти перемещения и повороты. Простейшим теплоактивным элементом с одной жесткой связью является стержень с одной жесткой заделкой на одном из торцов, второй торец которого может свободно перемещаться в осевом направлении. Тогда простейшая термоупругая структура будет состоять из квазитермостабильной связи, теплоактивного элемента и функций теплового поведения его и квазитермостабильной связи. Если теплоактивный элемент передает термоупругое воздействие через промежуточную связь, то такая термоупругая структура состоит из трех связей и функций теплового поведения. Примером такой структуры может служить, например, термоупругое смещение стола, вызываемое нагревом ходового винта. Квазитермостабильными связями в этом случае являются опоры ходового винта и передача винт-гайка.
Другим видом теплоактивного элемента является пластина или диск произвольного сечения, перемещения и деформации которых также ограничивают связи, наложенные на грани. Типовым видом этого теплоактивного элемента с одной жесткой связью часто можно рассматривать колонну металлорежущего станка, которая жестко закреплена на станине. Сама же станина является примером теплоактивного элемента, в которой отсутствуют связи, ограничивающие перемещения и деформации.
Квазитермостабильные связи, в зависимости от создаваемых ими ограничений в каждом координатном направлении на перемещения элемента, могут быть жесткими, упругими, с зазором, подвижными, допускающими повороты или представлять их комбинации.
Примером жесткой связи может служить, например, крепление колонны к станине станка. Упругие связи характерны для мест крепления в опорах ходового винта и шпинделя. Жесткой может быть принята одна из упругих связей, если соотношение их жесткости существенно отличаются друг от друга. Условие, при котором одна из упругих опор считается жесткой, может быть найдено из соотношения:
( δ1 / δ2 ) = ( j2 / j1 ),
где δ1, δ2 – термоупругие смещения соответственно связи 1 и 2; j1, j2 – жесткости связей 1 и 2.
Если отношение j2 / j1 близко к нулю, то смещение первой практически отсутствует, и можно принять ее за жесткую связь с теплоактивным элементом. Для практических целей величина этого соотношения зависит и определяется количеством таких элементов и значением ошибки, обусловленной указанным допущением. Поэтому, если число элементов не превышает десяти, это соотношение принимается j2 / j1 < 0,01, а при удвоении числа элементов также уменьшается в два раза.
На все связи между двумя теплоактивными элементами станка накладываются также условия взаимности и совместности линейных и угловых перемещений, то есть каждый теплоактивный элемент станка осуществляет только те смещения, которые допускаются их взаимной связью между собой.
При построении в местах квазитермостабильных связей координатных систем могут быть получены координатные термоупругие структуры элементов станка, что позволяет эквивалентно описывать конструктивно-компоновочное решение станка для рассмотрения и моделирования термоупругих смещений, вызываемых нагревом деталей и узлов. При этом степень детализации может быть выбрана различной. Если в качестве теплоактивных элементов принять узлы и детали кинематической структуры станка, то в этом случае получим структурно-кинематическую термоупругую структуру и будем оценивать смещения, обусловленные температурными изменениями элементов кинематической цепи. Если рассматривать в качестве теплоактивных элементов узлы и детали, определяющие конструктивно-компоновочное решение станка в целом, то построенная на этой основе структура позволит проводить структурный конструктивно-компоновочный теплофизический анализ станка в целом и оценивать теплостойкость всего станка.
На рис. 8а приведены типовые координатные термоупругие структуры различной степени сложности, а на рис. 8б показана обобщенная теплофизическая структурная формула металлорежущего станка [19], где обозначено: Ci – квазитермостабильная связь, Fi – функция теплового поведения, Ci+1 – квазитермостабильная связь, i – количество теплоактивных элементов.
Координатная термоупругая структура может состоять из одного, двух, трех и более элементов.
Для одноэлементной термоупругой структуры термоупругое смещение (повороты) определяется для точек узлов 1, 2 (рис. 8а), в которых построены координатные системы, положение последних обусловливается квазитермостабильными связями. Цифры 1 и 2 означают, что теплоактивный элемент содержит две квазитермостабильные связи. Координатная структура, представленная на рис. 8а, состоит из двух теплоактивных элементов, ограниченных квазитермостабильными связями 1, 2 и 2, 3. Искомая величина смещения определяется вектором, соединяющим начальную 1 и конечную 3 связь. В узлах связи 1, 2 и 3 построены координатные системы, направление которых может быть произвольным и связано с ориентацией теплоактивного элемента. Кроме того, на координатных структурах в каждом направлении указаны условные обозначения квазитермостабильных связей.
Очевидно, что независимо от количества теплоактивных элементов, все координатные структуры будут иметь вид незамкнутого многоугольника, а искомым будет замыкающий вектор, связывающий первую и последнюю квазитермостабильную связи. Любая из построенных таким образом термоупругих структур может быть преобразована в три самостоятельные структуры – соответствующие ее проекции на координатные плоскости Х0Y, Х0Z, Z0У. Для каждой такой проекции может быть записано математическое выражение для определения замыкающего вектора. Анализ этого выражения позволит не только находить значение термической жесткости и теплостойкости в выбранных направлениях и плоскостях, но и оценить влияние отдельных структурных составляющих. Приведенная последовательность построения и перехода от рассмотрения конструктивно-компоновочного решения станка к его структурным моделям представляет собой метод термоупругих координатных структур с квазитермостабильными связями.
В общем случае термоупругая структура любого станка состоит из i теплоактивного элемента i = ( n − 1 ), в n местах квазитермостабильных связей которых построено n координатных систем. Положение одной координатной системы относительно другой определяется радиус-вектором ri и матрицей их взаимного положения Mi. При последовательном переходе от одной системы координат к другой определяем положение δr фиксированной точки (которая задана в системе координат инструмента) в системе координат детали или наоборот. Это же относительное смещение инструмента и детали δr можно также определить как разность сумм двух векторов, имеющих общее начало с конечными точками соответственно в положении точки инструмента и детали. Результаты подобных вычислений будет равнозначны и определяют погрешность (разность) взаимного изменения положения δr векторов в принятой системе преобразований координатных систем.
При нагреве станка его теплоактивные элементы изменяют свои линейные размеры на величину δri0, а неравномерность температурного поля вызывает их угловые повороты, определяемые матрицей угловых δαi температурных деформаций теплоактивных элементов станка.
В зависимости от точности станка и требуемой точности решаемой задачи составляющие матриц второго ( δα2x ; δαx · δαy ) и более высокого порядков (δαx · δαy · δαz ; δα2x · δαy ; δα2x · δα2y ) могут быть приняты равными нулю.
Величина взаимного относительного смещения инструмента и заготовки δr, обусловленная нагревом теплоактивных элементов станка, будет определяться разностью значений термоупругой системы станка соответственно после и до его нагрева. Тогда общее выражение для оценки величины и характера температурных деформаций, построенной термоупругой системы металлорежущего станка, будет определяться выражением:
(21)
где – матрица погрешностей взаимного относительного положения инструмента и детали, обусловленная температурными деформациями станка; – матрица линейных температурных смещений теплоактивных элементов в местах квазитермостабильных связей.
Ki – коэффициент относительного температурного смещения теплоактивного элемента в местах квазитермостабильных связей (обобщенный коэффициент относительной жесткости элемента) равный:
,,
где Kпр – коэффициент жесткости предварительного растяжения-сжатия элемента; К0 – коэффициент относительного начального зазор-натяга термостабильной связи элемента; jΣ, j1, j2 – общая и жесткость связей элемента; , I – единичная матрица.
Как следует из рассмотрения составляющих параметров выражений (18, 20, 21) в них в явном виде не записаны и требуется определить (знать) температуры в теплоактивном элементе, их средние значения, неравномерность распределения по направлениям координатных систем, что позволит найти величины δri0 и δαi, которые в (21) записаны в общем виде, как составляющие выражения, и не раскрыты параметры. Методология построения температурных моделей металлорежущего станка [20, 21] также базируется на описанной выше методологии представления теплофизической структуры металлорежущего станка, а структурные составляющие имеют тот же вид, но, в отличие от структурных составляющих термоупругих деформаций, описываются и определяются как:
Ψ тепловая связь (ТС) – F функция теплового поведения теплоактивного элемента – Ψ тепловая связь (ТС).
Общая температурная модель металлорежущего станка и ее структура может быть представлена в виде системы n тел (теплоактивных элементов) с источниками и стоками теплоты (тепловые связи), расположенными в пространстве. Детали и узлы металлорежущего станка обмениваются тепловой энергией с окружающей средой и между собой. Необходимо найти пространственно-временное распределение температуры деталей и узлов (теплоактивных элементов) для различных режимов работы, а теплофизические свойства материалов, тепловые проводимости между телами, а также мощность источников и стоков энергии не зависят от температуры. В случае, наиболее характерном для металлорежущих станков, когда для j-ой детали станка тепловые потоки постоянны Qj = const, получим температуру Tj для j-ой детали [20]:
где Qek = Qok + Qik – общее пространственно-временное распределение источников энергии в k-м теле; Qok – количество тепла, подводимое к телу из вне; Qik – количество тепла, выделяющееся в теле; Qj – тепловые потоки для j-ой детали станка; Ψik, Ψαk, Ψαj – тепловые проводимости между элементами, элементом и окружающей средой:
Ψ = ( 1 / R ) = R−1,
Ck, Cj – полная теплоемкость деталей (элементов) k, j;
Tbj – начальная температура элемента j.
Тогда анализируя возможные изменения температур (22) и взаимного относительного положения инструмента и детали (21), обусловленные температурными деформациями деталей станка, для возможных диапазонов изменения геометрических и теплофизических параметров станков [11, 19], получим типовые характерные закономерности изменения во времени соответственно температур (рис. 9 а) и температурных деформаций (рис. 9 б).
Типовая закономерность 2, приведенная на рис. 9 а часто характерна для всех случаев нагрева-охлаждения деталей и является «квазиэкспоненциальной» зависимостью, когда на начальном этапе нагрева функция носит явно выраженный вогнутый характер с точкой перегиба через некоторый период времени. Закономерность изменения температуры 3 обусловлена суммарным действием источников тепла разной скорости и интенсивности. Экспоненциальный характер 1 изменения во времени (рис. 9 а) температуры детали происходит только при равенстве в выражении (22) скоростей роста и при , когда теплопроводность стыков деталей достаточно велика. Тогда имеем:
. (23)
Очевидно, как показано на рис. 9, что отклик станка в виде изменения температуры (3 вида) и температурных деформаций (8 видов) различны, а его свойство сопротивляться тепловым воздействиям – температурная жесткость – очевидно должно описываться различающимися параметрами.
Определим показатели общих температурных и термоупругих характеристик станков, позволяющих оценить и, следовательно, изменять свойство станка сопротивляться тепловым воздействиям с заданной чувствительностью и точностью. Для простоты описания рассмотрим только первых два члена (количество составляющих не изменяет сути метода) уравнения (21) и его проекции на оси координат. Тогда в этом случае для проекции на ось 0Y получим:
(24)
где:
S, C – синус и косинус угла;
αe = MT / EJ + C1 = βKCζΤ;
e = x, y, z;
ζi[0−1] – коэффициент неравномерности распределения температуры термоактивного элемента, который характеризует неравномерность температурного поля в поперечном сечении и, если градиенты температур в направлениях координат и по сечению близки или равны, то значения ζi → 1;
KC – коэффициент формы элемента равный, например, r2z / 8ry – для свободной балки, r2z / 2ry – для односторонне закрепленной балки.
Анализируя составляющие выражения (24), можно сделать вывод, что составляющие матриц Mi не являются теплофизическими или массо-габаритными параметрами и поэтому не влияют на тепловые характеристики станка и, следовательно, в дальнейшем анализе для упрощения выражений примем их как единичные матрицы. Произведения составляющих ((Bα)Ι)δr0 в выражении (24) являются величинами 2, 3, 4‑го порядков малости относительно δr и поэтому, чаще всего, для точностей более 1 мкм, будут в незначительной степени влиять как на величину, так и на температурные характеристики станка. Тогда выражение (24) упростится и запишем:
где:
Ki – коэффициент относительного температурного смещения теплоактивного элемента в местах квазитермостабильных связей;
– приведенный коэффициент температурных деформаций станка, 1/град;
– коэффициент температурной податливости, мкм / град;
– коэффициент температурной жесткости, град / мкм.
Подставляя в выражение (25) значение температуры (22), получим величину температурного смещения станка, приведенную к первому термоактивному элементу, то есть к шпинделю станка в точке ТСР и для значения времени выражение (25) примет вид:
(26)
где:
– отношение суммы внутренних источников (кроме первого) тепловыделений станка к источнику первого теплоактивного элемента;
– коэф-
фициент тепловой жесткости станка, °C /Вт;
– коэффициент тепловой проводимости станка Вт/°C;
– коэффициент термической жесткости станка, Вт/мкм.
Аналогичным образом определяются показатели тепловой и температурной жесткостей станка по другим направлениям осей координат станка 0X и 0Z, так как, очевидно, эти показатели жесткости различны в силу теплофизических особенностей конструктивно-компоновочных решений станков. В табл. 3 приведены обобщения и характеристика показателей тепловой и температурной жeсткостей металлорежущих станков, а на рис. 10 показана взаимосвязь тепловой жесткости станка с достигаемой температурой нагрева, при этом значение KQ1, 2, 3 тепловых жесткостей для станков ограничено величиной равной единице.
Таким образом, приведенные структурно-параметрические методы оценки позволяют на основании 3D-моделей станков осуществлять определение значений упругой, динамической и тепловой жесткостей металлорежущего станка и управлять ими на разных этапах жизненного цикла.
Литература
Кузнецов А. П. Тепловые процессы в металлорежущих станках. М.: ТЕХНОСФЕРА, 2019. 488 с.
Кузнецов А. П. Тепловой режим металлорежущих станков. М.: МГТУ «Станкин», Янус – К, 2013. 480 с.
Kuznetsov A. P., Koriath H.-J. Thermal stiffness – a key accuracy indicator of the machine tools. MM Science Journal, 2021,| Special Issue on ICTIMT2021. PP. 4548–4555.
Автор
Александр Павлович Кузнецов — доктор технических наук, профессор кафедры станков МГТУ «Станкин»
Оценка и управление
Часть 2. Термическая жесткость – инженерные основы оценки и управления
А. П. Кузнецов
С точки зрения требований точности и прецизионности станков рассмотрены основные положения оценок жесткости и их описание в физических процессах упругого деформирования в качестве важного элемента, учитываемого при проектировании металлорежущих станков. Кроме того, рассмотрены вопросы воздействия на станок тепловых факторов, которые также приводят к температурным погрешностям и обусловливают изменение точности станка.
«Существует лишь то, что можно измерить».
Макс Планк
Теплофизическую структуру металлорежущего станка [19, 20] будем рассматривать как взаимосвязанную совокупность однородных теплоактивных элементов, которые формируют и определяют пространственно-временное относительное положение инструмента и заготовки (или мест их крепления и установки). Теплоактивным элементом будем называть такую деталь (или узел) станка, которая либо сама изменяет термоупругие свойства, либо через нее передается термоупругое воздействие, что приводит к изменению начального состояния пространственно-временного относительного положения инструмента и заготовки.
Теплоактивные элементы образуют теплофизическую структуру с помощью квазитермостабильных связей, которые сохраняют свои свойства при изменении теплового состояния элементов в заданных пределах. Следовательно, совокупность теплоактивных элементов и их связей образует пространственную теплофизическую структуру станка. С течением времени, вследствие теплового воздействия, теплоактивные элементы изменяют свои термоупругие свойства. Эти изменения во времени характеризуются функцией теплового поведения теплоактивных элементов. Совокупность элементов, их связей и функций их теплового поведения образует пространственно-временную теплофизическую структуру металлорежущего станка. Таким образом, новое положение о тепловой системе станка привело к образованию новой системы понятий и, как следствие, к образованию новых терминов, выражающих данную систему понятий.
В металлорежущем станке теплоактивными элементами являются такие узлы и детали как шпиндель, шарико-винтовая передача и ходовой винт, колонна, станина, стол, шпиндельная бабка, ползун, траверса и т. п. Эти элементы имеют, как правило, относительно большие линейные размеры, площадь теплоотдающей поверхности, массу, а также входят в размерную цепь, определяющую относительное положение инструмента и заготовки. Элементы станка, которые имеют незначительные линейные размеры, невысокую температуру нагрева, незначительную площадь теплоотдающей поверхности, а также массу и, следовательно, теплоемкость, не могут существенно влиять на изменение теплофизического состояния станка.
Квазитермостабильные связи определяются естественными и конструктивно заданными связями между элементами (направляющие, подшипники, гайка и др.), а также местами их тепловой симметрии или центра тяжести масс. Например, к естественным связям относятся места крепления шпинделя, ходового винта, места передачи движения, места, ограничивающие (или исключающие) перемещение элементов и т. п. Строго говоря, положение опоры шпинделя при его нагреве не остается постоянным, однако, опора обеспечивает при нагреве стабильное взаимное относительное положение шпинделя и шпиндельной бабки. Или, например, связь стола, шпиндельной бабки с ходовым винтом осуществляется через передачу винт-гайка, что также обеспечивает относительно стабильное их взаимное положение при нагреве. Именно поэтому эти связи названы квазитермостабильными, так как при тепловых воздействиях только они остаются наиболее стабильными и сохраняют свое начальное относительное положение по сравнению с любыми другими частями детали, узла или элемента металлорежущего станка. Анализ связей и соединений теплоактивных элементов металлорежущих станков позволил классифицировать их по виду и количеству условий связи (ограничений), накладываемых сопрягаемыми элементами на их смещения друг относительно друга. Уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек сопрягаемых поверхностей, будем называть уравнениями квазитермостабильных связей.
Для построения термоупругой структуры станка необходимо более детально определить и структурировать виды типовых квазитермостабильных связей, теплоактивных элементов и функций теплового поведения. Так, в качестве теплоактивного элемента целесообразно выбрать стержень произвольного сечения, перемещение торцов которого ограничивают наложенные на них связи. В общем случае торец может перемещаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях и упруго поворачиваться вокруг них, если отсутствует связь, ограничивающая эти перемещения и повороты. Простейшим теплоактивным элементом с одной жесткой связью является стержень с одной жесткой заделкой на одном из торцов, второй торец которого может свободно перемещаться в осевом направлении. Тогда простейшая термоупругая структура будет состоять из квазитермостабильной связи, теплоактивного элемента и функций теплового поведения его и квазитермостабильной связи. Если теплоактивный элемент передает термоупругое воздействие через промежуточную связь, то такая термоупругая структура состоит из трех связей и функций теплового поведения. Примером такой структуры может служить, например, термоупругое смещение стола, вызываемое нагревом ходового винта. Квазитермостабильными связями в этом случае являются опоры ходового винта и передача винт-гайка.
Другим видом теплоактивного элемента является пластина или диск произвольного сечения, перемещения и деформации которых также ограничивают связи, наложенные на грани. Типовым видом этого теплоактивного элемента с одной жесткой связью часто можно рассматривать колонну металлорежущего станка, которая жестко закреплена на станине. Сама же станина является примером теплоактивного элемента, в которой отсутствуют связи, ограничивающие перемещения и деформации.
Квазитермостабильные связи, в зависимости от создаваемых ими ограничений в каждом координатном направлении на перемещения элемента, могут быть жесткими, упругими, с зазором, подвижными, допускающими повороты или представлять их комбинации.
Примером жесткой связи может служить, например, крепление колонны к станине станка. Упругие связи характерны для мест крепления в опорах ходового винта и шпинделя. Жесткой может быть принята одна из упругих связей, если соотношение их жесткости существенно отличаются друг от друга. Условие, при котором одна из упругих опор считается жесткой, может быть найдено из соотношения:
( δ1 / δ2 ) = ( j2 / j1 ),
где δ1, δ2 – термоупругие смещения соответственно связи 1 и 2; j1, j2 – жесткости связей 1 и 2.
Если отношение j2 / j1 близко к нулю, то смещение первой практически отсутствует, и можно принять ее за жесткую связь с теплоактивным элементом. Для практических целей величина этого соотношения зависит и определяется количеством таких элементов и значением ошибки, обусловленной указанным допущением. Поэтому, если число элементов не превышает десяти, это соотношение принимается j2 / j1 < 0,01, а при удвоении числа элементов также уменьшается в два раза.
На все связи между двумя теплоактивными элементами станка накладываются также условия взаимности и совместности линейных и угловых перемещений, то есть каждый теплоактивный элемент станка осуществляет только те смещения, которые допускаются их взаимной связью между собой.
При построении в местах квазитермостабильных связей координатных систем могут быть получены координатные термоупругие структуры элементов станка, что позволяет эквивалентно описывать конструктивно-компоновочное решение станка для рассмотрения и моделирования термоупругих смещений, вызываемых нагревом деталей и узлов. При этом степень детализации может быть выбрана различной. Если в качестве теплоактивных элементов принять узлы и детали кинематической структуры станка, то в этом случае получим структурно-кинематическую термоупругую структуру и будем оценивать смещения, обусловленные температурными изменениями элементов кинематической цепи. Если рассматривать в качестве теплоактивных элементов узлы и детали, определяющие конструктивно-компоновочное решение станка в целом, то построенная на этой основе структура позволит проводить структурный конструктивно-компоновочный теплофизический анализ станка в целом и оценивать теплостойкость всего станка.
На рис. 8а приведены типовые координатные термоупругие структуры различной степени сложности, а на рис. 8б показана обобщенная теплофизическая структурная формула металлорежущего станка [19], где обозначено: Ci – квазитермостабильная связь, Fi – функция теплового поведения, Ci+1 – квазитермостабильная связь, i – количество теплоактивных элементов.
Координатная термоупругая структура может состоять из одного, двух, трех и более элементов.
Для одноэлементной термоупругой структуры термоупругое смещение (повороты) определяется для точек узлов 1, 2 (рис. 8а), в которых построены координатные системы, положение последних обусловливается квазитермостабильными связями. Цифры 1 и 2 означают, что теплоактивный элемент содержит две квазитермостабильные связи. Координатная структура, представленная на рис. 8а, состоит из двух теплоактивных элементов, ограниченных квазитермостабильными связями 1, 2 и 2, 3. Искомая величина смещения определяется вектором, соединяющим начальную 1 и конечную 3 связь. В узлах связи 1, 2 и 3 построены координатные системы, направление которых может быть произвольным и связано с ориентацией теплоактивного элемента. Кроме того, на координатных структурах в каждом направлении указаны условные обозначения квазитермостабильных связей.
Очевидно, что независимо от количества теплоактивных элементов, все координатные структуры будут иметь вид незамкнутого многоугольника, а искомым будет замыкающий вектор, связывающий первую и последнюю квазитермостабильную связи. Любая из построенных таким образом термоупругих структур может быть преобразована в три самостоятельные структуры – соответствующие ее проекции на координатные плоскости Х0Y, Х0Z, Z0У. Для каждой такой проекции может быть записано математическое выражение для определения замыкающего вектора. Анализ этого выражения позволит не только находить значение термической жесткости и теплостойкости в выбранных направлениях и плоскостях, но и оценить влияние отдельных структурных составляющих. Приведенная последовательность построения и перехода от рассмотрения конструктивно-компоновочного решения станка к его структурным моделям представляет собой метод термоупругих координатных структур с квазитермостабильными связями.
В общем случае термоупругая структура любого станка состоит из i теплоактивного элемента i = ( n − 1 ), в n местах квазитермостабильных связей которых построено n координатных систем. Положение одной координатной системы относительно другой определяется радиус-вектором ri и матрицей их взаимного положения Mi. При последовательном переходе от одной системы координат к другой определяем положение δr фиксированной точки (которая задана в системе координат инструмента) в системе координат детали или наоборот. Это же относительное смещение инструмента и детали δr можно также определить как разность сумм двух векторов, имеющих общее начало с конечными точками соответственно в положении точки инструмента и детали. Результаты подобных вычислений будет равнозначны и определяют погрешность (разность) взаимного изменения положения δr векторов в принятой системе преобразований координатных систем.
При нагреве станка его теплоактивные элементы изменяют свои линейные размеры на величину δri0, а неравномерность температурного поля вызывает их угловые повороты, определяемые матрицей угловых δαi температурных деформаций теплоактивных элементов станка.
В зависимости от точности станка и требуемой точности решаемой задачи составляющие матриц второго ( δα2x ; δαx · δαy ) и более высокого порядков (δαx · δαy · δαz ; δα2x · δαy ; δα2x · δα2y ) могут быть приняты равными нулю.
Величина взаимного относительного смещения инструмента и заготовки δr, обусловленная нагревом теплоактивных элементов станка, будет определяться разностью значений термоупругой системы станка соответственно после и до его нагрева. Тогда общее выражение для оценки величины и характера температурных деформаций, построенной термоупругой системы металлорежущего станка, будет определяться выражением:
(21)
где – матрица погрешностей взаимного относительного положения инструмента и детали, обусловленная температурными деформациями станка; – матрица линейных температурных смещений теплоактивных элементов в местах квазитермостабильных связей.
Ki – коэффициент относительного температурного смещения теплоактивного элемента в местах квазитермостабильных связей (обобщенный коэффициент относительной жесткости элемента) равный:
,,
где Kпр – коэффициент жесткости предварительного растяжения-сжатия элемента; К0 – коэффициент относительного начального зазор-натяга термостабильной связи элемента; jΣ, j1, j2 – общая и жесткость связей элемента; , I – единичная матрица.
Как следует из рассмотрения составляющих параметров выражений (18, 20, 21) в них в явном виде не записаны и требуется определить (знать) температуры в теплоактивном элементе, их средние значения, неравномерность распределения по направлениям координатных систем, что позволит найти величины δri0 и δαi, которые в (21) записаны в общем виде, как составляющие выражения, и не раскрыты параметры. Методология построения температурных моделей металлорежущего станка [20, 21] также базируется на описанной выше методологии представления теплофизической структуры металлорежущего станка, а структурные составляющие имеют тот же вид, но, в отличие от структурных составляющих термоупругих деформаций, описываются и определяются как:
Ψ тепловая связь (ТС) – F функция теплового поведения теплоактивного элемента – Ψ тепловая связь (ТС).
Общая температурная модель металлорежущего станка и ее структура может быть представлена в виде системы n тел (теплоактивных элементов) с источниками и стоками теплоты (тепловые связи), расположенными в пространстве. Детали и узлы металлорежущего станка обмениваются тепловой энергией с окружающей средой и между собой. Необходимо найти пространственно-временное распределение температуры деталей и узлов (теплоактивных элементов) для различных режимов работы, а теплофизические свойства материалов, тепловые проводимости между телами, а также мощность источников и стоков энергии не зависят от температуры. В случае, наиболее характерном для металлорежущих станков, когда для j-ой детали станка тепловые потоки постоянны Qj = const, получим температуру Tj для j-ой детали [20]:
где Qek = Qok + Qik – общее пространственно-временное распределение источников энергии в k-м теле; Qok – количество тепла, подводимое к телу из вне; Qik – количество тепла, выделяющееся в теле; Qj – тепловые потоки для j-ой детали станка; Ψik, Ψαk, Ψαj – тепловые проводимости между элементами, элементом и окружающей средой:
Ψ = ( 1 / R ) = R−1,
Ck, Cj – полная теплоемкость деталей (элементов) k, j;
Tbj – начальная температура элемента j.
Тогда анализируя возможные изменения температур (22) и взаимного относительного положения инструмента и детали (21), обусловленные температурными деформациями деталей станка, для возможных диапазонов изменения геометрических и теплофизических параметров станков [11, 19], получим типовые характерные закономерности изменения во времени соответственно температур (рис. 9 а) и температурных деформаций (рис. 9 б).
Типовая закономерность 2, приведенная на рис. 9 а часто характерна для всех случаев нагрева-охлаждения деталей и является «квазиэкспоненциальной» зависимостью, когда на начальном этапе нагрева функция носит явно выраженный вогнутый характер с точкой перегиба через некоторый период времени. Закономерность изменения температуры 3 обусловлена суммарным действием источников тепла разной скорости и интенсивности. Экспоненциальный характер 1 изменения во времени (рис. 9 а) температуры детали происходит только при равенстве в выражении (22) скоростей роста и при , когда теплопроводность стыков деталей достаточно велика. Тогда имеем:
. (23)
Очевидно, как показано на рис. 9, что отклик станка в виде изменения температуры (3 вида) и температурных деформаций (8 видов) различны, а его свойство сопротивляться тепловым воздействиям – температурная жесткость – очевидно должно описываться различающимися параметрами.
Определим показатели общих температурных и термоупругих характеристик станков, позволяющих оценить и, следовательно, изменять свойство станка сопротивляться тепловым воздействиям с заданной чувствительностью и точностью. Для простоты описания рассмотрим только первых два члена (количество составляющих не изменяет сути метода) уравнения (21) и его проекции на оси координат. Тогда в этом случае для проекции на ось 0Y получим:
(24)
где:
S, C – синус и косинус угла;
αe = MT / EJ + C1 = βKCζΤ;
e = x, y, z;
ζi[0−1] – коэффициент неравномерности распределения температуры термоактивного элемента, который характеризует неравномерность температурного поля в поперечном сечении и, если градиенты температур в направлениях координат и по сечению близки или равны, то значения ζi → 1;
KC – коэффициент формы элемента равный, например, r2z / 8ry – для свободной балки, r2z / 2ry – для односторонне закрепленной балки.
Анализируя составляющие выражения (24), можно сделать вывод, что составляющие матриц Mi не являются теплофизическими или массо-габаритными параметрами и поэтому не влияют на тепловые характеристики станка и, следовательно, в дальнейшем анализе для упрощения выражений примем их как единичные матрицы. Произведения составляющих ((Bα)Ι)δr0 в выражении (24) являются величинами 2, 3, 4‑го порядков малости относительно δr и поэтому, чаще всего, для точностей более 1 мкм, будут в незначительной степени влиять как на величину, так и на температурные характеристики станка. Тогда выражение (24) упростится и запишем:
где:
Ki – коэффициент относительного температурного смещения теплоактивного элемента в местах квазитермостабильных связей;
– приведенный коэффициент температурных деформаций станка, 1/град;
– коэффициент температурной податливости, мкм / град;
– коэффициент температурной жесткости, град / мкм.
Подставляя в выражение (25) значение температуры (22), получим величину температурного смещения станка, приведенную к первому термоактивному элементу, то есть к шпинделю станка в точке ТСР и для значения времени выражение (25) примет вид:
(26)
где:
– отношение суммы внутренних источников (кроме первого) тепловыделений станка к источнику первого теплоактивного элемента;
– коэф-
фициент тепловой жесткости станка, °C /Вт;
– коэффициент тепловой проводимости станка Вт/°C;
– коэффициент термической жесткости станка, Вт/мкм.
Аналогичным образом определяются показатели тепловой и температурной жесткостей станка по другим направлениям осей координат станка 0X и 0Z, так как, очевидно, эти показатели жесткости различны в силу теплофизических особенностей конструктивно-компоновочных решений станков. В табл. 3 приведены обобщения и характеристика показателей тепловой и температурной жeсткостей металлорежущих станков, а на рис. 10 показана взаимосвязь тепловой жесткости станка с достигаемой температурой нагрева, при этом значение KQ1, 2, 3 тепловых жесткостей для станков ограничено величиной равной единице.
Таким образом, приведенные структурно-параметрические методы оценки позволяют на основании 3D-моделей станков осуществлять определение значений упругой, динамической и тепловой жесткостей металлорежущего станка и управлять ими на разных этапах жизненного цикла.
Литература
Кузнецов А. П. Тепловые процессы в металлорежущих станках. М.: ТЕХНОСФЕРА, 2019. 488 с.
Кузнецов А. П. Тепловой режим металлорежущих станков. М.: МГТУ «Станкин», Янус – К, 2013. 480 с.
Kuznetsov A. P., Koriath H.-J. Thermal stiffness – a key accuracy indicator of the machine tools. MM Science Journal, 2021,| Special Issue on ICTIMT2021. PP. 4548–4555.
Автор
Александр Павлович Кузнецов — доктор технических наук, профессор кафедры станков МГТУ «Станкин»
Отзывы читателей
